Zgjidh {l}{y=x+1}{y=3x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { y = 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-x=1,y-3x=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-x=1$$

Mblidh x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=x+1$$

Zëvendëso y me x+1 në ekuacionin tjetër, y-3x=2.

$$x+1-3x=2$$

Mblidh x me -3x.

$$-2x+1=2$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=1$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{1}{2} në y=x+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Mblidh 1 me -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-x=1,y-3x=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-x=1,y-3x=2$$

Zbrit y-3x=2 nga y-x=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-x+3x=1-2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-x+3x=1-2$$

Mblidh -x me 3x.

$$2x=1-2$$

Mblidh 1 me -2.

$$2x=-1$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{1}{2} në y-3x=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-3\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

Shumëzo -3 herë -\frac{1}{2}.

$$y+\frac{3}{2}=2$$

Zbrit \frac{3}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$