Zgjidh {l}{y=x+1}{2x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { 2 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=0$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-x=1,-3y+2x=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-x=1$$

Mblidh x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=x+1$$

Zëvendëso y me x+1 në ekuacionin tjetër, -3y+2x=-3.

$$-3\left(x+1\right)+2x=-3$$

Shumëzo -3 herë x+1.

$$-3x-3+2x=-3$$

Mblidh -3x me 2x.

$$-x-3=-3$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=0$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në y=x+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-x=1,-3y+2x=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-3\right)\\-3-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=1,x=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-x=1,-3y+2x=-3$$

Për ta bërë y të barabartë me -3y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-3y-3\left(-1\right)x=-3,-3y+2x=-3$$

Thjeshto.

$$-3y+3x=-3,-3y+2x=-3$$

Zbrit -3y+2x=-3 nga -3y+3x=-3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3y+3y+3x-2x=-3+3$$

Mblidh -3y me 3y. Shprehjet -3y dhe 3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3x-2x=-3+3$$

Mblidh 3x me -2x.

$$x=-3+3$$

Mblidh -3 me 3.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në -3y+2x=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-3y=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=0$$