Zgjidh {l}{y=9x+6}{y=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 9 x + 6 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y = \frac{57}{8} = 7\frac{1}{8} = 7.125$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$y-9x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-9x=6$$

Mblidh 9x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=9x+6$$

Zëvendëso y me 9x+6 në ekuacionin tjetër, y-x=7.

$$9x+6-x=7$$

Mblidh 9x me -x.

$$8x+6=7$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$8x=1$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=\frac{1}{8}$$

Zëvendëso x me \frac{1}{8} në y=9x+6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=9\times \frac{1}{8}+6$$

Shumëzo 9 herë \frac{1}{8}.

$$y=\frac{9}{8}+6$$

Mblidh 6 me \frac{9}{8}.

$$y=\frac{57}{8}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$y-9x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&-\frac{-9}{-1-\left(-9\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&\frac{1}{-1-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{9}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 6+\frac{9}{8}\times 7\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{57}{8}\\\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$y-9x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Zbrit y-x=7 nga y-9x=6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-9x+x=6-7$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9x+x=6-7$$

Mblidh -9x me x.

$$-8x=6-7$$

Mblidh 6 me -7.

$$-8x=-1$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$x=\frac{1}{8}$$

Zëvendëso x me \frac{1}{8} në y-x=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\frac{1}{8}=7$$

Mblidh \frac{1}{8} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{57}{8}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$