Zgjidh {l}{y=8x-5}{y=-7x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 8 x - 5 } \\ { y = - 7 x + 10 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=1$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7x në të dyja anët.

$$y+7x=10$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-8x=-5,y+7x=10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-8x=-5$$

Mblidh 8x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=8x-5$$

Zëvendëso y me 8x-5 në ekuacionin tjetër, y+7x=10.

$$8x-5+7x=10$$

Mblidh 8x me 7x.

$$15x-5=10$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$15x=15$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y=8x-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=8-5$$

Mblidh -5 me 8.

$$y=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=3,x=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7x në të dyja anët.

$$y+7x=10$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-8x=-5,y+7x=10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-8\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{7-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{7-\left(-8\right)}&\frac{1}{7-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}&\frac{8}{15}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}\left(-5\right)+\frac{8}{15}\times 10\\-\frac{1}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=3,x=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 7x në të dyja anët.

$$y+7x=10$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-8x=-5,y+7x=10$$

Zbrit y+7x=10 nga y-8x=-5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-8x-7x=-5-10$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-8x-7x=-5-10$$

Mblidh -8x me -7x.

$$-15x=-5-10$$

Mblidh -5 me -10.

$$-15x=-15$$

Pjesëto të dyja anët me -15.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y+7x=10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+7=10$$

Zbrit 7 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=3,x=1$$