Zgjidh {l}{y=8x-18}{y=x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 8 x - 18 } \\ { y = x - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=-18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-8x=-18$$

Mblidh 8x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=8x-18$$

Zëvendëso y me 8x-18 në ekuacionin tjetër, y-x=-4.

$$8x-18-x=-4$$

Mblidh 8x me -x.

$$7x-18=-4$$

Mblidh 18 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=14$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=8x-18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=8\times 2-18$$

Shumëzo 8 herë 2.

$$y=16-18$$

Mblidh -18 me 16.

$$y=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-2,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=-18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{-1-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&\frac{1}{-1-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{8}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-2,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=-18$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-8x=-18,y-x=-4$$

Zbrit y-x=-4 nga y-8x=-18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-8x+x=-18+4$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-8x+x=-18+4$$

Mblidh -8x me x.

$$-7x=-18+4$$

Mblidh -18 me 4.

$$-7x=-14$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y-x=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2=-4$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-2,x=2$$