Zgjidh {l}{y=8x+15}{-7x-4y=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 8 x + 15 } \\ { - 7 x - 4 y = - 21 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-1$$

$$y=7$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=15$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-8x=15,-4y-7x=-21$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-8x=15$$

Mblidh 8x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=8x+15$$

Zëvendëso y me 8x+15 në ekuacionin tjetër, -4y-7x=-21.

$$-4\left(8x+15\right)-7x=-21$$

Shumëzo -4 herë 8x+15.

$$-32x-60-7x=-21$$

Mblidh -32x me -7x.

$$-39x-60=-21$$

Mblidh 60 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-39x=39$$

Pjesëto të dyja anët me -39.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y=8x+15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=8\left(-1\right)+15$$

Shumëzo 8 herë -1.

$$y=-8+15$$

Mblidh 15 me -8.

$$y=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=7,x=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=15$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-8x=15,-4y-7x=-21$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\-4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-21\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-8\\-4&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\-4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-21\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-21\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-21\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{-7-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-7-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-21\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}&-\frac{8}{39}\\-\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-21\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}\times 15-\frac{8}{39}\left(-21\right)\\-\frac{4}{39}\times 15-\frac{1}{39}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=7,x=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=15$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-8x=15,-4y-7x=-21$$

Për ta bërë y të barabartë me -4y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-4y-4\left(-8\right)x=-4\times 15,-4y-7x=-21$$

Thjeshto.

$$-4y+32x=-60,-4y-7x=-21$$

Zbrit -4y-7x=-21 nga -4y+32x=-60 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-4y+4y+32x+7x=-60+21$$

Mblidh -4y me 4y. Shprehjet -4y dhe 4y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$32x+7x=-60+21$$

Mblidh 32x me 7x.

$$39x=-60+21$$

Mblidh -60 me 21.

$$39x=-39$$

Pjesëto të dyja anët me 39.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në -4y-7x=-21. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-4y-7\left(-1\right)=-21$$

Shumëzo -7 herë -1.

$$-4y+7=-21$$

Zbrit 7 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4y=-28$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$y=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=7,x=-1$$