Zgjidh {l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

Gjej y, p

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7.5p nga të dyja anët.

$$y-7.5p=45$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 0.6p në të dyja anët.

$$y+0.6p=300$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-7.5p=45$$

Mblidh \frac{15p}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=7.5p+45$$

Zëvendëso y me \frac{15p}{2}+45 në ekuacionin tjetër, y+0.6p=300.

$$7.5p+45+0.6p=300$$

Mblidh \frac{15p}{2} me \frac{3p}{5}.

$$8.1p+45=300$$

Zbrit 45 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$8.1p=255$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 8.1, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$p=\frac{850}{27}$$

Zëvendëso p me \frac{850}{27} në y=7.5p+45. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

Shumëzo 7.5 herë \frac{850}{27} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

Mblidh 45 me \frac{2125}{9}.

$$y=\frac{2530}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7.5p nga të dyja anët.

$$y-7.5p=45$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 0.6p në të dyja anët.

$$y+0.6p=300$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe p.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7.5p nga të dyja anët.

$$y-7.5p=45$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 0.6p në të dyja anët.

$$y+0.6p=300$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

Zbrit y+0.6p=300 nga y-7.5p=45 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

Mblidh -\frac{15p}{2} me -\frac{3p}{5}.

$$-8.1p=45-300$$

Mblidh 45 me -300.

$$-8.1p=-255$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -8.1, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$p=\frac{850}{27}$$

Zëvendëso p me \frac{850}{27} në y+0.6p=300. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

Shumëzo 0.6 herë \frac{850}{27} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y+\frac{170}{9}=300$$

Zbrit \frac{170}{9} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{2530}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$