Zgjidh {l}{y=7x+3}{y=x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7 x + 3 } \\ { y = x + 9 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=1$$

$$y=10$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$y-7x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-7x=3,y-x=9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-7x=3$$

Mblidh 7x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=7x+3$$

Zëvendëso y me 7x+3 në ekuacionin tjetër, y-x=9.

$$7x+3-x=9$$

Mblidh 7x me -x.

$$6x+3=9$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=6$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y=7x+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=7+3$$

Mblidh 3 me 7.

$$y=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=10,x=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$y-7x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-7x=3,y-x=9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{-1-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-7\right)}&\frac{1}{-1-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 3+\frac{7}{6}\times 9\\-\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\times 9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=10,x=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$y-7x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-7x=3,y-x=9$$

Zbrit y-x=9 nga y-7x=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-7x+x=3-9$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-7x+x=3-9$$

Mblidh -7x me x.

$$-6x=3-9$$

Mblidh 3 me -9.

$$-6x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y-x=9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-1=9$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=10,x=1$$