Zgjidh {l}{y=6x+4}{y=8x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x + 4 } \\ { y = 8 x + 2 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=1$$

$$y=10$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-6x=4,y-8x=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-6x=4$$

Mblidh 6x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=6x+4$$

Zëvendëso y me 6x+4 në ekuacionin tjetër, y-8x=2.

$$6x+4-8x=2$$

Mblidh 6x me -8x.

$$-2x+4=2$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-2$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y=6x+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=6+4$$

Mblidh 4 me 6.

$$y=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=10,x=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-6x=4,y-8x=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-6\right)}&\frac{1}{-8-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 4-3\times 2\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=10,x=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$y-8x=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-6x=4,y-8x=2$$

Zbrit y-8x=2 nga y-6x=4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-6x+8x=4-2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-6x+8x=4-2$$

Mblidh -6x me 8x.

$$2x=4-2$$

Mblidh 4 me -2.

$$2x=2$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y-8x=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-8=2$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=10,x=1$$