Zgjidh {l}{y=5x+3}{y=-2x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x + 3 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-5x=3$$

Mblidh 5x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=5x+3$$

Zëvendëso y me 5x+3 në ekuacionin tjetër, y+2x=-4.

$$5x+3+2x=-4$$

Mblidh 5x me 2x.

$$7x+3=-4$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=-7$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y=5x+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=5\left(-1\right)+3$$

Shumëzo 5 herë -1.

$$y=-5+3$$

Mblidh 3 me -5.

$$y=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-2,x=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-5\right)}&\frac{1}{2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 3+\frac{5}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\times 3+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-2,x=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$y-5x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Zbrit y+2x=-4 nga y-5x=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-5x-2x=3+4$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-5x-2x=3+4$$

Mblidh -5x me -2x.

$$-7x=3+4$$

Mblidh 3 me 4.

$$-7x=7$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y+2x=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

Shumëzo 2 herë -1.

$$y-2=-4$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-2,x=-1$$