Zgjidh {l}{y=4x-9}{y=x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 9 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-4x=-9$$

Mblidh 4x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=4x-9$$

Zëvendëso y me 4x-9 në ekuacionin tjetër, y-x=-3.

$$4x-9-x=-3$$

Mblidh 4x me -x.

$$3x-9=-3$$

Mblidh 9 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=4x-9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=4\times 2-9$$

Shumëzo 4 herë 2.

$$y=8-9$$

Mblidh -9 me 8.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{4}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-1,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Zbrit y-x=-3 nga y-4x=-9 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-4x+x=-9+3$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4x+x=-9+3$$

Mblidh -4x me x.

$$-3x=-9+3$$

Mblidh -9 me 3.

$$-3x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y-x=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2=-3$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=2$$