Zgjidh {l}{y=4x-2}{y=-x+18}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 2 } \\ { y = - x + 18 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=4$$

$$y=14$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=18$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-4x=-2$$

Mblidh 4x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=4x-2$$

Zëvendëso y me 4x-2 në ekuacionin tjetër, y+x=18.

$$4x-2+x=18$$

Mblidh 4x me x.

$$5x-2=18$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=20$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y=4x-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=4\times 4-2$$

Shumëzo 4 herë 4.

$$y=16-2$$

Mblidh -2 me 16.

$$y=14$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=14,x=4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=18$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{4}{5}\times 18\\-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=14,x=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=18$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Zbrit y+x=18 nga y-4x=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-4x-x=-2-18$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4x-x=-2-18$$

Mblidh -4x me -x.

$$-5x=-2-18$$

Mblidh -2 me -18.

$$-5x=-20$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y+x=18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+4=18$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=14$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=14,x=4$$