Zgjidh {l}{y=4x+2}{y=-2x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x + 2 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-4x=2,y+2x=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-4x=2$$

Mblidh 4x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=4x+2$$

Zëvendëso y me 4x+2 në ekuacionin tjetër, y+2x=-4.

$$4x+2+2x=-4$$

Mblidh 4x me 2x.

$$6x+2=-4$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y=4x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=4\left(-1\right)+2$$

Shumëzo 4 herë -1.

$$y=-4+2$$

Mblidh 2 me -4.

$$y=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-2,x=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-4x=2,y+2x=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-4\right)}&\frac{1}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{2}{3}\left(-4\right)\\-\frac{1}{6}\times 2+\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-2,x=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$y-4x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-4x=2,y+2x=-4$$

Zbrit y+2x=-4 nga y-4x=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-4x-2x=2+4$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4x-2x=2+4$$

Mblidh -4x me -2x.

$$-6x=2+4$$

Mblidh 2 me 4.

$$-6x=6$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y+2x=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

Shumëzo 2 herë -1.

$$y-2=-4$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-2,x=-1$$