Zgjidh {l}{y=3x-7}{2x+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 7 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-3x=-7$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3x-7$$

Zëvendëso y me 3x-7 në ekuacionin tjetër, 3y+2x=12.

$$3\left(3x-7\right)+2x=12$$

Shumëzo 3 herë 3x-7.

$$9x-21+2x=12$$

Mblidh 9x me 2x.

$$11x-21=12$$

Mblidh 21 në të dyja anët e ekuacionit.

$$11x=33$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në y=3x-7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=3\times 3-7$$

Shumëzo 3 herë 3.

$$y=9-7$$

Mblidh -7 me 9.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-7\right)+\frac{3}{11}\times 12\\-\frac{3}{11}\left(-7\right)+\frac{1}{11}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=2,x=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

Për ta bërë y të barabartë me 3y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$3y+3\left(-3\right)x=3\left(-7\right),3y+2x=12$$

Thjeshto.

$$3y-9x=-21,3y+2x=12$$

Zbrit 3y+2x=12 nga 3y-9x=-21 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3y-3y-9x-2x=-21-12$$

Mblidh 3y me -3y. Shprehjet 3y dhe -3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9x-2x=-21-12$$

Mblidh -9x me -2x.

$$-11x=-21-12$$

Mblidh -21 me -12.

$$-11x=-33$$

Pjesëto të dyja anët me -11.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në 3y+2x=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$3y+2\times 3=12$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$3y+6=12$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=3$$