Zgjidh {l}{y=2x-2}{y=-5x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 2 } \\ { y = - 5 x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$y = -\frac{8}{7} = -1\frac{1}{7} \approx -1.142857143$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 5x në të dyja anët.

$$y+5x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-2x=-2$$

Mblidh 2x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2x-2$$

Zëvendëso y me -2+2x në ekuacionin tjetër, y+5x=1.

$$2x-2+5x=1$$

Mblidh 2x me 5x.

$$7x-2=1$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=3$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=\frac{3}{7}$$

Zëvendëso x me \frac{3}{7} në y=2x-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\times \frac{3}{7}-2$$

Shumëzo 2 herë \frac{3}{7}.

$$y=\frac{6}{7}-2$$

Mblidh -2 me \frac{6}{7}.

$$y=-\frac{8}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 5x në të dyja anët.

$$y+5x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\left(-2\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{7}\\\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 5x në të dyja anët.

$$y+5x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Zbrit y+5x=1 nga y-2x=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-2x-5x=-2-1$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2x-5x=-2-1$$

Mblidh -2x me -5x.

$$-7x=-2-1$$

Mblidh -2 me -1.

$$-7x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=\frac{3}{7}$$

Zëvendëso x me \frac{3}{7} në y+5x=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+5\times \frac{3}{7}=1$$

Shumëzo 5 herë \frac{3}{7}.

$$y+\frac{15}{7}=1$$

Zbrit \frac{15}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-\frac{8}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$