Zgjidh {l}{y=2x+8}{3x+2y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-4$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-2x=8$$

Mblidh 2x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2x+8$$

Zëvendëso y me 8+2x në ekuacionin tjetër, 2y+3x=-12.

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

Shumëzo 2 herë 8+2x.

$$4x+16+3x=-12$$

Mblidh 4x me 3x.

$$7x+16=-12$$

Zbrit 16 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=-28$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në y=2x+8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\left(-4\right)+8$$

Shumëzo 2 herë -4.

$$y=-8+8$$

Mblidh 8 me -8.

$$y=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=0,x=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=0,x=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Për ta bërë y të barabartë me 2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

Thjeshto.

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

Zbrit 2y+3x=-12 nga 2y-4x=16 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

Mblidh 2y me -2y. Shprehjet 2y dhe -2y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4x-3x=16+12$$

Mblidh -4x me -3x.

$$-7x=16+12$$

Mblidh 16 me 12.

$$-7x=28$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në 2y+3x=-12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

Shumëzo 3 herë -4.

$$2y-12=-12$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=0$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=0,x=-4$$