Zgjidh {l}{y=2x+7}{2y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 7 } \\ { 2 y = x + 2 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-x=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-2x=7$$

Mblidh 2x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2x+7$$

Zëvendëso y me 2x+7 në ekuacionin tjetër, 2y-x=2.

$$2\left(2x+7\right)-x=2$$

Shumëzo 2 herë 2x+7.

$$4x+14-x=2$$

Mblidh 4x me -x.

$$3x+14=2$$

Zbrit 14 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-12$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në y=2x+7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\left(-4\right)+7$$

Shumëzo 2 herë -4.

$$y=-8+7$$

Mblidh 7 me -8.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-x=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-1,x=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-x=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Për ta bërë y të barabartë me 2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 7,2y-x=2$$

Thjeshto.

$$2y-4x=14,2y-x=2$$

Zbrit 2y-x=2 nga 2y-4x=14 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2y-2y-4x+x=14-2$$

Mblidh 2y me -2y. Shprehjet 2y dhe -2y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4x+x=14-2$$

Mblidh -4x me x.

$$-3x=14-2$$

Mblidh 14 me -2.

$$-3x=12$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në 2y-x=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2y-\left(-4\right)=2$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=-2$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=-4$$