Zgjidh {l}{y=2x+3}{y=-3x-6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = - 3 x - 6 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = -\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5} = -1.8$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=-6$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-2x=3$$

Mblidh 2x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2x+3$$

Zëvendëso y me 2x+3 në ekuacionin tjetër, y+3x=-6.

$$2x+3+3x=-6$$

Mblidh 2x me 3x.

$$5x+3=-6$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=-9$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Zëvendëso x me -\frac{9}{5} në y=2x+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\left(-\frac{9}{5}\right)+3$$

Shumëzo 2 herë -\frac{9}{5}.

$$y=-\frac{18}{5}+3$$

Mblidh 3 me -\frac{18}{5}.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=-6$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{2}{5}\left(-6\right)\\-\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=-6$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

Zbrit y+3x=-6 nga y-2x=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-2x-3x=3+6$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2x-3x=3+6$$

Mblidh -2x me -3x.

$$-5x=3+6$$

Mblidh 3 me 6.

$$-5x=9$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Zëvendëso x me -\frac{9}{5} në y+3x=-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+3\left(-\frac{9}{5}\right)=-6$$

Shumëzo 3 herë -\frac{9}{5}.

$$y-\frac{27}{5}=-6$$

Mblidh \frac{27}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$