Zgjidh {l}{y=2x+1}{y=x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-4$$

$$y=-7$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-2x=1,y-x=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-2x=1$$

Mblidh 2x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2x+1$$

Zëvendëso y me 2x+1 në ekuacionin tjetër, y-x=-3.

$$2x+1-x=-3$$

Mblidh 2x me -x.

$$x+1=-3$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në y=2x+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=2\left(-4\right)+1$$

Shumëzo 2 herë -4.

$$y=-8+1$$

Mblidh 1 me -8.

$$y=-7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-7,x=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-2x=1,y-x=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+2\left(-3\right)\\-1-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-7,x=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-2x=1,y-x=-3$$

Zbrit y-x=-3 nga y-2x=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-2x+x=1+3$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2x+x=1+3$$

Mblidh -2x me x.

$$-x=1+3$$

Mblidh 1 me 3.

$$-x=4$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në y-x=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\left(-4\right)=-3$$

Shumëzo -1 herë -4.

$$y+4=-3$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-7,x=-4$$