Zgjidh {l}{y=.5x+2}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = .5 x + 2 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-2$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 0.5x nga të dyja anët.

$$y-0.5x=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-0.5x=2$$

Mblidh \frac{x}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=0.5x+2$$

Zëvendëso y me \frac{x}{2}+2 në ekuacionin tjetër, 3y+x=1.

$$3\left(0.5x+2\right)+x=1$$

Shumëzo 3 herë \frac{x}{2}+2.

$$1.5x+6+x=1$$

Mblidh \frac{3x}{2} me x.

$$2.5x+6=1$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2.5x=-5$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 2.5, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-2$$

Zëvendëso x me -2 në y=0.5x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=0.5\left(-2\right)+2$$

Shumëzo 0.5 herë -2.

$$y=-1+2$$

Mblidh 2 me -1.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 0.5x nga të dyja anët.

$$y-0.5x=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4\times 2+0.2\\-1.2\times 2+0.4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=1,x=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 0.5x nga të dyja anët.

$$y-0.5x=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Për ta bërë y të barabartë me 3y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3\times 2,3y+x=1$$

Thjeshto.

$$3y-1.5x=6,3y+x=1$$

Zbrit 3y+x=1 nga 3y-1.5x=6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3y-3y-1.5x-x=6-1$$

Mblidh 3y me -3y. Shprehjet 3y dhe -3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-1.5x-x=6-1$$

Mblidh -\frac{3x}{2} me -x.

$$-2.5x=6-1$$

Mblidh 6 me -1.

$$-2.5x=5$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -2.5, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-2$$

Zëvendëso x me -2 në 3y+x=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$3y-2=1$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=3$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=-2$$