Zgjidh {l}{y=-x-7}{5y+3x=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 7 } \\ { 5 y + 3 x = - 13 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-11$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+x=-7$$

Zbrit x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-x-7$$

Zëvendëso y me -x-7 në ekuacionin tjetër, 5y+3x=-13.

$$5\left(-x-7\right)+3x=-13$$

Shumëzo 5 herë -x-7.

$$-5x-35+3x=-13$$

Mblidh -5x me 3x.

$$-2x-35=-13$$

Mblidh 35 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=22$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-11$$

Zëvendëso x me -11 në y=-x-7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\left(-11\right)-7$$

Shumëzo -1 herë -11.

$$y=11-7$$

Mblidh -7 me 11.

$$y=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=4,x=-11$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{5}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=4,x=-11$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Për ta bërë y të barabartë me 5y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$5y+5x=5\left(-7\right),5y+3x=-13$$

Thjeshto.

$$5y+5x=-35,5y+3x=-13$$

Zbrit 5y+3x=-13 nga 5y+5x=-35 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5y-5y+5x-3x=-35+13$$

Mblidh 5y me -5y. Shprehjet 5y dhe -5y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$5x-3x=-35+13$$

Mblidh 5x me -3x.

$$2x=-35+13$$

Mblidh -35 me 13.

$$2x=-22$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-11$$

Zëvendëso x me -11 në 5y+3x=-13. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$5y+3\left(-11\right)=-13$$

Shumëzo 3 herë -11.

$$5y-33=-13$$

Mblidh 33 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=20$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=4,x=-11$$