Zgjidh {l}{y=-x-5}{y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 5 } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-5$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+x=-5,y-x=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+x=-5$$

Zbrit x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-x-5$$

Zëvendëso y me -x-5 në ekuacionin tjetër, y-x=5.

$$-x-5-x=5$$

Mblidh -x me -x.

$$-2x-5=5$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=10$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-5$$

Zëvendëso x me -5 në y=-x-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\left(-5\right)-5$$

Shumëzo -1 herë -5.

$$y=5-5$$

Mblidh -5 me 5.

$$y=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=0,x=-5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+x=-5,y-x=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=0,x=-5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+x=-5,y-x=5$$

Zbrit y-x=5 nga y+x=-5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+x+x=-5-5$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+x=-5-5$$

Mblidh x me x.

$$2x=-5-5$$

Mblidh -5 me -5.

$$2x=-10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-5$$

Zëvendëso x me -5 në y-x=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\left(-5\right)=5$$

Shumëzo -1 herë -5.

$$y+5=5$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=0,x=-5$$