Zgjidh {l}{y=-x+7}{y=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 7 } \\ { y = 6 x } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=1$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+x=7,y-6x=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+x=7$$

Zbrit x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-x+7$$

Zëvendëso y me -x+7 në ekuacionin tjetër, y-6x=0.

$$-x+7-6x=0$$

Mblidh -x me -6x.

$$-7x+7=0$$

Zbrit 7 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-7x=-7$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y=-x+7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-1+7$$

Mblidh 7 me -1.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+x=7,y-6x=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-1}&-\frac{1}{-6-1}\\-\frac{1}{-6-1}&\frac{1}{-6-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=6,x=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$y-6x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+x=7,y-6x=0$$

Zbrit y-6x=0 nga y+x=7 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+x+6x=7$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+6x=7$$

Mblidh x me 6x.

$$7x=7$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y-6x=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-6=0$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=1$$