Zgjidh {l}{y=-x+4}{y=-2x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 4 } \\ { y = - 2 x + 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-1$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+x=4,y+2x=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+x=4$$

Zbrit x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-x+4$$

Zëvendëso y me -x+4 në ekuacionin tjetër, y+2x=3.

$$-x+4+2x=3$$

Mblidh -x me 2x.

$$x+4=3$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y=-x+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\left(-1\right)+4$$

Shumëzo -1 herë -1.

$$y=1+4$$

Mblidh 4 me 1.

$$y=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=5,x=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+x=4,y+2x=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{1}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4-3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=5,x=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+x=4,y+2x=3$$

Zbrit y+2x=3 nga y+x=4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+x-2x=4-3$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x-2x=4-3$$

Mblidh x me -2x.

$$-x=4-3$$

Mblidh 4 me -3.

$$-x=1$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y+2x=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+2\left(-1\right)=3$$

Shumëzo 2 herë -1.

$$y-2=3$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=5,x=-1$$