Zgjidh {l}{y=-x+3}{y=x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 3 } \\ { y = x - 1 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+x=3,y-x=-1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+x=3$$

Zbrit x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-x+3$$

Zëvendëso y me -x+3 në ekuacionin tjetër, y-x=-1.

$$-x+3-x=-1$$

Mblidh -x me -x.

$$-2x+3=-1$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=-x+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-2+3$$

Mblidh 3 me -2.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+x=3,y-x=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\left(-1\right)\\\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=1,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+x=3,y-x=-1$$

Zbrit y-x=-1 nga y+x=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+x+x=3+1$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+x=3+1$$

Mblidh x me x.

$$2x=3+1$$

Mblidh 3 me 1.

$$2x=4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y-x=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2=-1$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=2$$