Zgjidh {l}{y=-6x+2}{y=-x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 6 x + 2 } \\ { y = - x - 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=1$$

$$y=-4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 6x në të dyja anët.

$$y+6x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+6x=2,y+x=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+6x=2$$

Zbrit 6x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-6x+2$$

Zëvendëso y me -6x+2 në ekuacionin tjetër, y+x=-3.

$$-6x+2+x=-3$$

Mblidh -6x me x.

$$-5x+2=-3$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y=-6x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-6+2$$

Mblidh 2 me -6.

$$y=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-4,x=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 6x në të dyja anët.

$$y+6x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+6x=2,y+x=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-6}&-\frac{6}{1-6}\\-\frac{1}{1-6}&\frac{1}{1-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 2+\frac{6}{5}\left(-3\right)\\\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-4,x=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 6x në të dyja anët.

$$y+6x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto x në të dyja anët.

$$y+x=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+6x=2,y+x=-3$$

Zbrit y+x=-3 nga y+6x=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+6x-x=2+3$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6x-x=2+3$$

Mblidh 6x me -x.

$$5x=2+3$$

Mblidh 2 me 3.

$$5x=5$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y+x=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+1=-3$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-4,x=1$$