Zgjidh {l}{y=-5x+1}{y=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-1$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 5x në të dyja anët.

$$y+5x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+5x=1,y-x=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+5x=1$$

Zbrit 5x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-5x+1$$

Zëvendëso y me -5x+1 në ekuacionin tjetër, y-x=7.

$$-5x+1-x=7$$

Mblidh -5x me -x.

$$-6x+1=7$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-6x=6$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y=-5x+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

Shumëzo -5 herë -1.

$$y=5+1$$

Mblidh 1 me 5.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 5x në të dyja anët.

$$y+5x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+5x=1,y-x=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{5}{-1-5}\\-\frac{1}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{5}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\times 7\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=6,x=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 5x në të dyja anët.

$$y+5x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+5x=1,y-x=7$$

Zbrit y-x=7 nga y+5x=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+5x+x=1-7$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$5x+x=1-7$$

Mblidh 5x me x.

$$6x=1-7$$

Mblidh 1 me -7.

$$6x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y-x=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\left(-1\right)=7$$

Shumëzo -1 herë -1.

$$y+1=7$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=-1$$