Zgjidh {l}{y=-4x-17}{-2x+6y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 17 } \\ { - 2 x + 6 y = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=-17$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+4x=-17$$

Zbrit 4x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-4x-17$$

Zëvendëso y me -4x-17 në ekuacionin tjetër, 6y-2x=2.

$$6\left(-4x-17\right)-2x=2$$

Shumëzo 6 herë -4x-17.

$$-24x-102-2x=2$$

Mblidh -24x me -2x.

$$-26x-102=2$$

Mblidh 102 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-26x=104$$

Pjesëto të dyja anët me -26.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në y=-4x-17. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-4\left(-4\right)-17$$

Shumëzo -4 herë -4.

$$y=16-17$$

Mblidh -17 me 16.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=-4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=-17$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4\times 6}&-\frac{4}{-2-4\times 6}\\-\frac{6}{-2-4\times 6}&\frac{1}{-2-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-17\right)+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{3}{13}\left(-17\right)-\frac{1}{26}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-1,x=-4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=-17$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

Për ta bërë y të barabartë me 6y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$6y+6\times 4x=6\left(-17\right),6y-2x=2$$

Thjeshto.

$$6y+24x=-102,6y-2x=2$$

Zbrit 6y-2x=2 nga 6y+24x=-102 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6y-6y+24x+2x=-102-2$$

Mblidh 6y me -6y. Shprehjet 6y dhe -6y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$24x+2x=-102-2$$

Mblidh 24x me 2x.

$$26x=-102-2$$

Mblidh -102 me -2.

$$26x=-104$$

Pjesëto të dyja anët me 26.

$$x=-4$$

Zëvendëso x me -4 në 6y-2x=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$6y-2\left(-4\right)=2$$

Shumëzo -2 herë -4.

$$6y+8=2$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6y=-6$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=-4$$