Zgjidh {l}{y=-4x+5}{y=-3/5x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x + 5 } \\ { y = - \frac { 3 } { 5 } x + 5 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=0$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{3}{5}x në të dyja anët.

$$y+\frac{3}{5}x=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+4x=5,y+\frac{3}{5}x=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+4x=5$$

Zbrit 4x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-4x+5$$

Zëvendëso y me -4x+5 në ekuacionin tjetër, y+\frac{3}{5}x=5.

$$-4x+5+\frac{3}{5}x=5$$

Mblidh -4x me \frac{3x}{5}.

$$-\frac{17}{5}x+5=5$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{17}{5}x=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{17}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në y=-4x+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=5,x=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{3}{5}x në të dyja anët.

$$y+\frac{3}{5}x=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+4x=5,y+\frac{3}{5}x=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-4}&-\frac{4}{\frac{3}{5}-4}\\-\frac{1}{\frac{3}{5}-4}&\frac{1}{\frac{3}{5}-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{20}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 5+\frac{20}{17}\times 5\\\frac{5}{17}\times 5-\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=5,x=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{3}{5}x në të dyja anët.

$$y+\frac{3}{5}x=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+4x=5,y+\frac{3}{5}x=5$$

Zbrit y+\frac{3}{5}x=5 nga y+4x=5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+4x-\frac{3}{5}x=5-5$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4x-\frac{3}{5}x=5-5$$

Mblidh 4x me -\frac{3x}{5}.

$$\frac{17}{5}x=5-5$$

Mblidh 5 me -5.

$$\frac{17}{5}x=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{17}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në y+\frac{3}{5}x=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=5,x=0$$