Zgjidh {l}{y=-4x+2}{y=-2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x + 2 } \\ { y = - 2 x - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=-6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+4x=2$$

Zbrit 4x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-4x+2$$

Zëvendëso y me -4x+2 në ekuacionin tjetër, y+2x=-2.

$$-4x+2+2x=-2$$

Mblidh -4x me 2x.

$$-2x+2=-2$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=-4x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-4\times 2+2$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$y=-8+2$$

Mblidh 2 me -8.

$$y=-6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-6,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+2\left(-2\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-6,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 4x në të dyja anët.

$$y+4x=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

Zbrit y+2x=-2 nga y+4x=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+4x-2x=2+2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4x-2x=2+2$$

Mblidh 4x me -2x.

$$2x=2+2$$

Mblidh 2 me 2.

$$2x=4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y+2x=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+2\times 2=-2$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$y+4=-2$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-6,x=2$$