Zgjidh {l}{y=-2x}{4x+6y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-3$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+2x=0$$

Zbrit 2x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2x$$

Zëvendëso y me -2x në ekuacionin tjetër, 6y+4x=24.

$$6\left(-2\right)x+4x=24$$

Shumëzo 6 herë -2x.

$$-12x+4x=24$$

Mblidh -12x me 4x.

$$-8x=24$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$x=-3$$

Zëvendëso x me -3 në y=-2x. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-2\left(-3\right)$$

Shumëzo -2 herë -3.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 6}&-\frac{2}{4-2\times 6}\\-\frac{6}{4-2\times 6}&\frac{1}{4-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 24\\-\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=6,x=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

Për ta bërë y të barabartë me 6y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$6y+6\times 2x=0,6y+4x=24$$

Thjeshto.

$$6y+12x=0,6y+4x=24$$

Zbrit 6y+4x=24 nga 6y+12x=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6y-6y+12x-4x=-24$$

Mblidh 6y me -6y. Shprehjet 6y dhe -6y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12x-4x=-24$$

Mblidh 12x me -4x.

$$8x=-24$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=-3$$

Zëvendëso x me -3 në 6y+4x=24. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$6y+4\left(-3\right)=24$$

Shumëzo 4 herë -3.

$$6y-12=24$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$6y=36$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=-3$$