Zgjidh {l}{y=-7/3x+3}{y=-2/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 7 } { 3 } x + 3 } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=3$$

$$y=-4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{7}{3}x në të dyja anët.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{2}{3}x në të dyja anët.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Zbrit \frac{7x}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-\frac{7}{3}x+3$$

Zëvendëso y me -\frac{7x}{3}+3 në ekuacionin tjetër, y+\frac{2}{3}x=-2.

$$-\frac{7}{3}x+3+\frac{2}{3}x=-2$$

Mblidh -\frac{7x}{3} me \frac{2x}{3}.

$$-\frac{5}{3}x+3=-2$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{5}{3}x=-5$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{5}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në y=-\frac{7}{3}x+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\frac{7}{3}\times 3+3$$

Shumëzo -\frac{7}{3} herë 3.

$$y=-7+3$$

Mblidh 3 me -7.

$$y=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-4,x=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{7}{3}x në të dyja anët.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{2}{3}x në të dyja anët.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 3+\frac{7}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-4,x=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{7}{3}x në të dyja anët.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{2}{3}x në të dyja anët.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Zbrit y+\frac{2}{3}x=-2 nga y+\frac{7}{3}x=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Mblidh \frac{7x}{3} me -\frac{2x}{3}.

$$\frac{5}{3}x=3+2$$

Mblidh 3 me 2.

$$\frac{5}{3}x=5$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{5}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në y+\frac{2}{3}x=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+\frac{2}{3}\times 3=-2$$

Shumëzo \frac{2}{3} herë 3.

$$y+2=-2$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-4,x=3$$