Zgjidh {l}{y=-1/2x+1}{y=1/2x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - 3 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{1}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Zbrit \frac{x}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Zëvendëso y me -\frac{x}{2}+1 në ekuacionin tjetër, y-\frac{1}{2}x=-3.

$$-\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}x=-3$$

Mblidh -\frac{x}{2} me -\frac{x}{2}.

$$-x+1=-3$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y=-\frac{1}{2}x+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\frac{1}{2}\times 4+1$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 4.

$$y=-2+1$$

Mblidh 1 me -2.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{1}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\1-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-1,x=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{1}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Zbrit y-\frac{1}{2}x=-3 nga y+\frac{1}{2}x=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Mblidh \frac{x}{2} me \frac{x}{2}.

$$x=1+3$$

Mblidh 1 me 3.

$$x=4$$

Zëvendëso x me 4 në y-\frac{1}{2}x=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\frac{1}{2}\times 4=-3$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë 4.

$$y-2=-3$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-1,x=4$$