Zgjidh {l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=160$$

$$y=8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{x}{20} nga të dyja anët.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20.

$$20y-x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 80+x me \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Zbrit \frac{1}{30}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$20y-x=0$$

Mblidh x në të dyja anët e ekuacionit.

$$20y=x$$

Pjesëto të dyja anët me 20.

$$y=\frac{1}{20}x$$

Zëvendëso y me \frac{x}{20} në ekuacionin tjetër, y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}.

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Mblidh \frac{x}{20} me -\frac{x}{30}.

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

Shumëzo të dyja anët me 60.

$$x=160$$

Zëvendëso x me 160 në y=\frac{1}{20}x. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

Shumëzo \frac{1}{20} herë 160.

$$y=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=8,x=160$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{x}{20} nga të dyja anët.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20.

$$20y-x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 80+x me \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Zbrit \frac{1}{30}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=8,x=160$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{x}{20} nga të dyja anët.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20.

$$20y-x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 80+x me \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Zbrit \frac{1}{30}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Për ta bërë 20y të barabartë me y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 20.

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

Thjeshto.

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

Zbrit 20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3} nga 20y-x=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Mblidh 20y me -20y. Shprehjet 20y dhe -20y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Mblidh -x me \frac{2x}{3}.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Shumëzo të dyja anët me -3.

$$x=160$$

Zëvendëso x me 160 në y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

Shumëzo -\frac{1}{30} herë 160.

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

Mblidh \frac{16}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=8,x=160$$