Zgjidh {l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Pjesëto çdo kufizë të x+3 me 2 për të marrë \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Shto \frac{3}{2} dhe 3 për të marrë \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{9+x}{2} në ekuacionin tjetër, y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

Mblidh \frac{x}{2} me -2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

Zbrit \frac{9}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{3}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Zëvendëso x me -\frac{11}{3} në y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -\frac{11}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

Mblidh \frac{9}{2} me -\frac{11}{6} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{8}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Pjesëto çdo kufizë të x+3 me 2 për të marrë \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Shto \frac{3}{2} dhe 3 për të marrë \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=10$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Pjesëto çdo kufizë të x+3 me 2 për të marrë \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Shto \frac{3}{2} dhe 3 për të marrë \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=10$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Zbrit y-2x=10 nga y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Mblidh -\frac{x}{2} me 2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

Mblidh \frac{9}{2} me -10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{3}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Zëvendëso x me -\frac{11}{3} në y-2x=10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

Shumëzo -2 herë -\frac{11}{3}.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

Zbrit \frac{22}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{8}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$