Zgjidh {l}{y=1/3x-6}{y=1/9x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=9$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{9}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

Mblidh \frac{x}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{1}{3}x-6$$

Zëvendëso y me \frac{x}{3}-6 në ekuacionin tjetër, y-\frac{1}{9}x=-4.

$$\frac{1}{3}x-6-\frac{1}{9}x=-4$$

Mblidh \frac{x}{3} me -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x-6=-4$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{2}{9}x=2$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{2}{9}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=9$$

Zëvendëso x me 9 në y=\frac{1}{3}x-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{1}{3}\times 9-6$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 9.

$$y=3-6$$

Mblidh -6 me 3.

$$y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-3,x=9$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{9}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-6\right)+\frac{3}{2}\left(-4\right)\\-\frac{9}{2}\left(-6\right)+\frac{9}{2}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-3,x=9$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{9}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

Zbrit y-\frac{1}{9}x=-4 nga y-\frac{1}{3}x=-6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4$$

Mblidh -\frac{x}{3} me \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=-6+4$$

Mblidh -6 me 4.

$$-\frac{2}{9}x=-2$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{2}{9}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=9$$

Zëvendëso x me 9 në y-\frac{1}{9}x=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\frac{1}{9}\times 9=-4$$

Shumëzo -\frac{1}{9} herë 9.

$$y-1=-4$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-3,x=9$$