Zgjidh {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{9}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Mblidh \frac{x}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

Zëvendëso y me \frac{x}{3}+6 në ekuacionin tjetër, y-\frac{1}{9}x=-1.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

Mblidh \frac{x}{3} me -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{2}{9}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{63}{2} në y=\frac{1}{3}x+6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -\frac{63}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

Mblidh 6 me -\frac{21}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{9}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{9}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Zbrit y-\frac{1}{9}x=-1 nga y-\frac{1}{3}x=6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Mblidh -\frac{x}{3} me \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

Mblidh 6 me 1.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{2}{9}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{63}{2} në y-\frac{1}{9}x=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

Shumëzo -\frac{1}{9} herë -\frac{63}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

Zbrit \frac{7}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$