Zgjidh {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{4}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Mblidh \frac{x}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

Zëvendëso y me \frac{x}{3}+1 në ekuacionin tjetër, y-\frac{4}{3}x=-2.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

Mblidh \frac{x}{3} me -\frac{4x}{3}.

$$-x+1=-2$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në y=\frac{1}{3}x+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 3.

$$y=1+1$$

Mblidh 1 me 1.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{4}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=2,x=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{4}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Zbrit y-\frac{4}{3}x=-2 nga y-\frac{1}{3}x=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Mblidh -\frac{x}{3} me \frac{4x}{3}.

$$x=1+2$$

Mblidh 1 me 2.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në y-\frac{4}{3}x=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

Shumëzo -\frac{4}{3} herë 3.

$$y-4=-2$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=2,x=3$$