Zgjidh {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Mblidh \frac{x}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Zëvendëso y me \frac{x}{2}+1 në ekuacionin tjetër, 2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

Shumëzo 2 herë \frac{x}{2}+1.

$$x+2+3x=-2$$

Mblidh x me 3x.

$$4x+2=-2$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në y=\frac{1}{2}x+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -1.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Mblidh 1 me -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{2}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Për ta bërë y të barabartë me 2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

Thjeshto.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

Zbrit 2y+3x=-2 nga 2y-x=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

Mblidh 2y me -2y. Shprehjet 2y dhe -2y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-x-3x=2+2$$

Mblidh -x me -3x.

$$-4x=2+2$$

Mblidh 2 me 2.

$$-4x=4$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=-1$$

Zëvendëso x me -1 në 2y+3x=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

Shumëzo 3 herë -1.

$$2y-3=-2$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=1$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$