Zgjidh {l}{x_{6}=3x+y}{x_{3}=3y+x}

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 6 } = 3 x + y } \\ { x _ { 3 } = 3 y + x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3x+y=x_{6}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3y+x=x_{3}$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+y=x_{6}$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-y+x_{6}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+x_{6}\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -y+x_{6}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+x_{6}}{3} në ekuacionin tjetër, x+3y=x_{3}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}+3y=x_{3}$$

Mblidh -\frac{y}{3} me 3y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{x_{6}}{3}=x_{3}$$

Zbrit \frac{x_{6}}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{x_{6}}{3}+x_{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{8}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Zëvendëso y me \frac{3x_{3}-x_{6}}{8} në x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}.

$$x=\frac{x_{6}}{24}-\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

Mblidh \frac{x_{6}}{3} me -\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{24}.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3x+y=x_{6}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3y+x=x_{3}$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}x_{6}-\frac{1}{8}x_{3}\\-\frac{1}{8}x_{6}+\frac{3}{8}x_{3}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}\\\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3x+y=x_{6}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$3y+x=x_{3}$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Për ta bërë 3x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$3x+y=x_{6},3x+3\times 3y=3x_{3}$$

Thjeshto.

$$3x+y=x_{6},3x+9y=3x_{3}$$

Zbrit 3x+9y=3x_{3} nga 3x+y=x_{6} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x+y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

Mblidh y me -9y.

$$-8y=x_{6}-3x_{3}$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Zëvendëso y me \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8} në x+3y=x_{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+3\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}=x_{3}$$

Shumëzo 3 herë \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8}.

$$x+\frac{9x_{3}-3x_{6}}{8}=x_{3}$$

Zbrit \frac{-3x_{6}+9x_{3}}{8} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$