Zgjidh {l}{x_{1}+3x_{2}=18}{x_{1}+x_{2}=8}

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 18 } \\ { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

Gjej x_1, x_2

$$x_{1}=3$$

$$x_{2}=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x_{1}+3x_{2}=18,x_{1}+x_{2}=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x_{1} duke veçuar x_{1} në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x_{1}+3x_{2}=18$$

Zbrit 3x_{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x_{1}=-3x_{2}+18$$

Zëvendëso x_{1} me -3x_{2}+18 në ekuacionin tjetër, x_{1}+x_{2}=8.

$$-3x_{2}+18+x_{2}=8$$

Mblidh -3x_{2} me x_{2}.

$$-2x_{2}+18=8$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x_{2}=-10$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x_{2}=5$$

Zëvendëso x_{2} me 5 në x_{1}=-3x_{2}+18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x_{1} menjëherë.

$$x_{1}=-3\times 5+18$$

Shumëzo -3 herë 5.

$$x_{1}=-15+18$$

Mblidh 18 me -15.

$$x_{1}=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x_{1}=3,x_{2}=5$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x_{1}+3x_{2}=18,x_{1}+x_{2}=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{3}{1-3}\\-\frac{1}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 18+\frac{3}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 18-\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x_{1} dhe x_{2}.

$$x_{1}=3,x_{2}=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x_{1}+3x_{2}=18,x_{1}+x_{2}=8$$

Zbrit x_{1}+x_{2}=8 nga x_{1}+3x_{2}=18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x_{1}-x_{1}+3x_{2}-x_{2}=18-8$$

Mblidh x_{1} me -x_{1}. Shprehjet x_{1} dhe -x_{1} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3x_{2}-x_{2}=18-8$$

Mblidh 3x_{2} me -x_{2}.

$$2x_{2}=18-8$$

Mblidh 18 me -8.

$$2x_{2}=10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x_{2}=5$$

Zëvendëso x_{2} me 5 në x_{1}+x_{2}=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x_{1} menjëherë.

$$x_{1}+5=8$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x_{1}=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x_{1}=3,x_{2}=5$$