Zgjidh {l}{x-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20.

$$20x-y=320$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=21,20x-y=320$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=21$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+21$$

Zëvendëso x me y+21 në ekuacionin tjetër, 20x-y=320.

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

Shumëzo 20 herë y+21.

$$20y+420-y=320$$

Mblidh 20y me -y.

$$19y+420=320$$

Zbrit 420 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$19y=-100$$

Pjesëto të dyja anët me 19.

$$y=-\frac{100}{19}$$

Zëvendëso y me -\frac{100}{19} në x=y+21. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

Mblidh 21 me -\frac{100}{19}.

$$x=\frac{299}{19}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20.

$$20x-y=320$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=21,20x-y=320$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20.

$$20x-y=320$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=21,20x-y=320$$

Zbrit 20x-y=320 nga x-y=21 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-20x-y+y=21-320$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x-20x=21-320$$

Mblidh x me -20x.

$$-19x=21-320$$

Mblidh 21 me -320.

$$-19x=-299$$

Pjesëto të dyja anët me -19.

$$x=\frac{299}{19}$$

Zëvendëso x me \frac{299}{19} në 20x-y=320. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

Shumëzo 20 herë \frac{299}{19}.

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

Zbrit \frac{5980}{19} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=\frac{100}{19}$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=-\frac{100}{19}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$