Zgjidh {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=37$$

$$y=21$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-x=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=16$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+16$$

Zëvendëso x me y+16 në ekuacionin tjetër, -x+2y=5.

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

Shumëzo -1 herë y+16.

$$-y-16+2y=5$$

Mblidh -y me 2y.

$$y-16=5$$

Mblidh 16 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=21$$

Zëvendëso y me 21 në x=y+16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=21+16$$

Mblidh 16 me 21.

$$x=37$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=37,y=21$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-x=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=37,y=21$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-x=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Për ta bërë x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

Thjeshto.

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

Zbrit -x+2y=5 nga -x+y=-16 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

Mblidh -x me x. Shprehjet -x dhe x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y-2y=-16-5$$

Mblidh y me -2y.

$$-y=-16-5$$

Mblidh -16 me -5.

$$-y=-21$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=21$$

Zëvendëso y me 21 në -x+2y=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+2\times 21=5$$

Shumëzo 2 herë 21.

$$-x+42=5$$

Zbrit 42 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-37$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=37$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=37,y=21$$