Zgjidh {l}{x-8=2y}{x+y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 8 = 2 y } \\ { x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-8-2y=0$$

Shto 8 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-2y=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-2y=8,x+y=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-2y=8$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2y+8$$

Zëvendëso x me 8+2y në ekuacionin tjetër, x+y=-2.

$$2y+8+y=-2$$

Mblidh 2y me y.

$$3y+8=-2$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=-\frac{10}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{10}{3} në x=2y+8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2\left(-\frac{10}{3}\right)+8$$

Shumëzo 2 herë -\frac{10}{3}.

$$x=-\frac{20}{3}+8$$

Mblidh 8 me -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{4}{3},y=-\frac{10}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-8-2y=0$$

Shto 8 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-2y=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-2y=8,x+y=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\left(-2\right)\\-\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{4}{3},y=-\frac{10}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$x-8-2y=0$$

Shto 8 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-2y=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-2y=8,x+y=-2$$

Zbrit x+y=-2 nga x-2y=8 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x-2y-y=8+2$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-2y-y=8+2$$

Mblidh -2y me -y.

$$-3y=8+2$$

Mblidh 8 me 2.

$$-3y=10$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=-\frac{10}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{10}{3} në x+y=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-\frac{10}{3}=-2$$

Mblidh \frac{10}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{4}{3},y=-\frac{10}{3}$$