Zgjidh {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=14$$

$$y=46$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 5.

$$5x-30=y-6$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$5x-30-y=-6$$

Shto 30 në të dyja anët.

$$5x-y=-6+30$$

Shto -6 dhe 30 për të marrë 24.

$$5x-y=24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x+18=y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x+18-y=0$$

Zbrit 18 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$2x-y=-18$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-y=24$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=y+24$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë y+24.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{24+y}{5} në ekuacionin tjetër, 2x-y=-18.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

Shumëzo 2 herë \frac{24+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

Mblidh \frac{2y}{5} me -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

Zbrit \frac{48}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{3}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=46$$

Zëvendëso y me 46 në x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 46.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

Mblidh \frac{24}{5} me \frac{46}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=14$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=14,y=46$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 5.

$$5x-30=y-6$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$5x-30-y=-6$$

Shto 30 në të dyja anët.

$$5x-y=-6+30$$

Shto -6 dhe 30 për të marrë 24.

$$5x-y=24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x+18=y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x+18-y=0$$

Zbrit 18 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$2x-y=-18$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=14,y=46$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 5.

$$5x-30=y-6$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$5x-30-y=-6$$

Shto 30 në të dyja anët.

$$5x-y=-6+30$$

Shto -6 dhe 30 për të marrë 24.

$$5x-y=24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x+18=y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x+18-y=0$$

Zbrit 18 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$2x-y=-18$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Zbrit 2x-y=-18 nga 5x-y=24 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$5x-2x=24+18$$

Mblidh 5x me -2x.

$$3x=24+18$$

Mblidh 24 me 18.

$$3x=42$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=14$$

Zëvendëso x me 14 në 2x-y=-18. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2\times 14-y=-18$$

Shumëzo 2 herë 14.

$$28-y=-18$$

Zbrit 28 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-46$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=46$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=14,y=46$$