Zgjidh {l}{x-3y=11}{11y+4x=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 11 } \\ { 11 y + 4 x = 12 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{157}{23} = 6\frac{19}{23} \approx 6.826086957$$

$$y = -\frac{32}{23} = -1\frac{9}{23} \approx -1.391304348$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-3y=11$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3y+11$$

Zëvendëso x me 3y+11 në ekuacionin tjetër, 4x+11y=12.

$$4\left(3y+11\right)+11y=12$$

Shumëzo 4 herë 3y+11.

$$12y+44+11y=12$$

Mblidh 12y me 11y.

$$23y+44=12$$

Zbrit 44 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$23y=-32$$

Pjesëto të dyja anët me 23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

Zëvendëso y me -\frac{32}{23} në x=3y+11. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=3\left(-\frac{32}{23}\right)+11$$

Shumëzo 3 herë -\frac{32}{23}.

$$x=-\frac{96}{23}+11$$

Mblidh 11 me -\frac{96}{23}.

$$x=\frac{157}{23}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{11-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{11-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{11-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\times 11+\frac{3}{23}\times 12\\-\frac{4}{23}\times 11+\frac{1}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{23}\\-\frac{32}{23}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Për ta bërë x të barabartë me 4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 11,4x+11y=12$$

Thjeshto.

$$4x-12y=44,4x+11y=12$$

Zbrit 4x+11y=12 nga 4x-12y=44 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4x-4x-12y-11y=44-12$$

Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-12y-11y=44-12$$

Mblidh -12y me -11y.

$$-23y=44-12$$

Mblidh 44 me -12.

$$-23y=32$$

Pjesëto të dyja anët me -23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

Zëvendëso y me -\frac{32}{23} në 4x+11y=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$4x+11\left(-\frac{32}{23}\right)=12$$

Shumëzo 11 herë -\frac{32}{23}.

$$4x-\frac{352}{23}=12$$

Mblidh \frac{352}{23} në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=\frac{628}{23}$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{157}{23}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$