Zgjidh {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-3-y=0$$

Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$37-3x-y=0$$

Zbrit 37 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-3x-y=-37$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=3$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+3$$

Zëvendëso x me y+3 në ekuacionin tjetër, -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Shumëzo -3 herë y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Mblidh -3y me -y.

$$-4y-9=-37$$

Mblidh 9 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-4y=-28$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$y=7$$

Zëvendëso y me 7 në x=y+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=7+3$$

Mblidh 3 me 7.

$$x=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=10,y=7$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-3-y=0$$

Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$37-3x-y=0$$

Zbrit 37 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-3x-y=-37$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=10,y=7$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-3-y=0$$

Shto 3 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$x-y=3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$37-3x-y=0$$

Zbrit 37 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-3x-y=-37$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Zbrit -3x-y=-37 nga x-y=3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x+3x=3+37$$

Mblidh x me 3x.

$$4x=3+37$$

Mblidh 3 me 37.

$$4x=40$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=10$$

Zëvendëso x me 10 në -3x-y=-37. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-3\times 10-y=-37$$

Shumëzo -3 herë 10.

$$-30-y=-37$$

Mblidh 30 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-7$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=10,y=7$$