Zgjidh {l}{x^2+y^2=R^2}{y=mx}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 } } \\ { y = m x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=-\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

$$x=\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Hapat që përdorin zëvendësimin dhe formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit mx nga të dyja anët.

$$y-mx=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+\left(-m\right)x=0,x^{2}+y^{2}=R^{2}$$

Gjej y në y+\left(-m\right)x=0 duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+\left(-m\right)x=0$$

Zbrit \left(-m\right)x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=mx$$

Zëvendëso y me mx në ekuacionin tjetër, x^{2}+y^{2}=R^{2}.

$$x^{2}+\left(mx\right)^{2}=R^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë mx.

$$x^{2}+m^{2}x^{2}=R^{2}$$

Mblidh x^{2} me m^{2}x^{2}.

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}=R^{2}$$

Zbrit R^{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}-R^{2}=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1+1m^{2}, b me 1\times 0\times 2m dhe c me -R^{2} në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 1\times 0\times 2m.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

Shumëzo -4 herë 1+1m^{2}.

$$x=\frac{0±\sqrt{\left(-4m^{2}-4\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

Shumëzo -4-4m^{2} herë -R^{2}.

$$x=\frac{0±\sqrt{4R^{2}\left(m^{2}+1\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 4\left(1+m^{2}\right)R^{2}.

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

Shumëzo 2 herë 1+1m^{2}.

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} kur ± është plus.

$$x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} kur ± është minus.

$$x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Ekzistojnë dy zgjidhje për x: \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} dhe -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}. Zëvendëso x me \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} në ekuacionin y=mx për të gjetur zgjidhjen përkatëse për y që vërteton të dyja ekuacionet.

$$y=m\times \frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Shumëzo m herë \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}.

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m$$

Tani zëvendëso x me -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} në ekuacionin y=mx dhe zgjidhe për të gjetur zgjidhjen përkatëse për y që vërteton të dyja ekuacionet.

$$y=m\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)$$

Shumëzo m herë -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}.

$$y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m,x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{ or }y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m,x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

Gjej x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{; }x=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{, }&m\neq -i\text{ and }m\neq i\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=mx\text{, }&\left(m=i\text{ or }m=-i\right)\text{ and }R=0\end{matrix}\right.$$