Zgjidh {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Hapat që përdorin zëvendësimin dhe formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

Gjej x në x+y=1 duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+y=1$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-y+1$$

Zëvendëso x me -y+1 në ekuacionin tjetër, y^{2}+x^{2}=4.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

Ngri në fuqi të dytë -y+1.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Mblidh y^{2} me y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1+1\left(-1\right)^{2}, b me 1\times 1\left(-1\right)\times 2 dhe c me -3 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 1\times 1\left(-1\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Mblidh 4 me 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 28.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

E kundërta e 1\times 1\left(-1\right)\times 2 është 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} kur ± është plus. Mblidh 2 me 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Pjesëto 2+2\sqrt{7} me 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} kur ± është minus. Zbrit 2\sqrt{7} nga 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Pjesëto 2-2\sqrt{7} me 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Ekzistojnë dy zgjidhje për y: \frac{1+\sqrt{7}}{2} dhe \frac{1-\sqrt{7}}{2}. Zëvendëso y me \frac{1+\sqrt{7}}{2} në ekuacionin x=-y+1 për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Tani zëvendëso y me \frac{1-\sqrt{7}}{2} në ekuacionin x=-y+1 dhe zgjidhe për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$