Zgjidh {l}{x=y-3}{2x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x = y - 3 } \\ { 2 x = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=-3,2x-y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=-3$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y-3$$

Zëvendëso x me y-3 në ekuacionin tjetër, 2x-y=0.

$$2\left(y-3\right)-y=0$$

Shumëzo 2 herë y-3.

$$2y-6-y=0$$

Mblidh 2y me -y.

$$y-6=0$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=6$$

Zëvendëso y me 6 në x=y-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=6-3$$

Mblidh -3 me 6.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=6$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=-3,2x-y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)\\-2\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=6$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-y=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$2x-y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=-3,2x-y=0$$

Zbrit 2x-y=0 nga x-y=-3 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-2x-y+y=-3$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$x-2x=-3$$

Mblidh x me -2x.

$$-x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në 2x-y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2\times 3-y=0$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$6-y=0$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=6$$